Such a Beautiful Life

今天习题课某人讲的是：规范对称性仅仅是一种冗余自由度表示。

要点1：我们可以从一个没有规范对称性的理论出发，添加上辅助场，凑成一个规范对称性理论；而后积掉辅助场，得到一个规范不变的理论。
这样做的结果是，会出现非定域相互作用。
规范对称性本来就是为了描述零质量自旋一玻色子的定域洛仑兹协变相互作用而引入的多余自由度。反过来，用来描述有质量粒子，自然会有这种未曾预计的效果。
Schwinger二维模型中，二维电动力学中光子只有两个时空自由度，引进多余规范自由度（严格说是一个规范自由度必须是横方向）给了光子质量。
电动力学中还有一种破坏规范对称性的方式，也就是引入手征费米子的Majorana质量项。

要点2：强耦合和弱耦合问题。
以上的讨论是关于阿贝尔规范的，这个理论没有渐进自由，在朗道极点以下能标全都适用，故我们不能在这理论中引入高阶导数项（即便它们是“规范”不变的），否则会出现鬼态或者快子——在不渐进自由的场论中，这种非物理态是需要被解释的。有效场论却没有这个问题，因为快子或鬼态都出现在截断附近，低能理论不需要理解它们，可以随便添加高阶算符，它们都是被截断压低的不相关项。这种手放快子有一个相关应用，即Pauli-Villars正规化。对非阿贝尔理论，因为出现了规范玻色子的自相互作用，纵场部分不再是自由的，如果重复量子电动力学的例子，手放高阶导数项，并且加上质量项，那么理论肯定在某个能标以上出现鬼态或快子，这时候的理论就应该不成立了。与量子电动力学的差别在于，我们的理论本来就应该在某处不成立的。带质量玻色子sector对应的就是量子色动力学的低能pi场相互作用理论。那是一个动力学自发破缺的后果——低能有效理论，在色动力学能标之上，理论变得强耦合而不可信任（准确说是无关算符项变得相关，无数非微扰效应出现）。这对我们而言却不是一个严重问题，因为我们已经知道这个低能理论有一个紫外补全，即色动力学。只是想一想在这两个能标下作为场自由度出现的“物理”态多么不同，也不难理解强耦合动力学一定会出现了。不管怎样，低能有效理论是要失效的，我们可以调整手放高阶导数项的系数，使快子高于或接近微扰崩溃的能标，那么快子的存在对低能有效理论而言，也就不是一个问题了。（对高能当然更不是问题，从威尔松有效拉氏量看，积掉一层自由度壳自然要引入一串被截断压低的高阶不相关项）

要点3：怎么看待微扰的崩溃
这个地方要尤其小心。譬如看量子电动力学，朗道极点存在，对应的就是微扰展开系数暴掉。这是不是说，我们的微扰展开方式有问题，大家应该认真研究朗道极点附近的非微扰方法呢？举个例子，我们是可以做电动力学的格点计算的，只要用费曼路径积分，最后让格点尺寸趋于零，这里面没有极点问题啊。问题在于路径积分理论不是显式幺正的。假如换成哈密顿正则方式，理论是明显幺正的，路径积分却不是。
从两点看问题或许有帮助，第一是，渐进展开本来就是一个很聪明的方法，电动力学渐进展开的阶乘系数自动相消，如果认真写出来，渐进展开本身就告诉我们存在一个位置这种展开要完蛋，即朗道极点。
另一点是，如果我们认真用格点算。。。既然要算出能算出的结果，我们其实已经取了一个原来理论的紫外补全了。这个补全的部分，也就是理论的小尺度自由度。问题在于，这种自由度完完全全是自由的，随便选。换言之，用格点我们能够算出“一个”理论的结果，而未必是“那个”理论的结果。

要点3：对偶性的发现根本上动摇了规范对称性的基本地位，试想两个不同规范群理论都可能有相同的对偶描述，这说明了什么呢？
说明规范自由度是手放进凑数的，说明规范对称性是假的，只是名字的叫法不影响性别这个普遍原理（如果你管这个叫原理的话）的一种阐述。
既然规范对称性不是真的，某个层次上说，真正重要的是整体对称性，如果它们对应物理上可观测的守恒量的话。一个例子是AdS空间内的规范对称场论，对应边界上CFT的整体对称性。

金钱、权力，我要的就是这两样，

为了爱情，我宁愿牺牲金钱，

为了金钱，我又愿将权力牺牲。

                         ——1958年

起因是和师兄关于量子引力不可重整的讨论。该问题是，如何说明带量纲的耦合常数会导致不可重整。
首先，带量纲的耦合会在能量高于截断能标后造成微扰展开参数大于1的非微扰效应，问题也就变成，如何说明非微扰会破坏重整化。

我是用散射实验来说明的——考虑两个入射粒子碰撞变为两个出射粒子的过程（简称2到2散射或者2-2散射）。如果手中有一个量子场论，我们可以用之计算2-2散射振幅，问题是场论在高阶往往会遇到积分发散，需要重整化处理。而“散射实验”描述的好处就是绕开每一阶重整化的细节——就算我们不知道怎么切除每一阶的无穷大，我们总可以去做实验，原则上任何4动量转移的2-2散射都可以在实验上测出散射截面——这强烈的预示每一阶费曼图中的无穷大都是虚假的，求和计算实际物理量时，各阶无穷大一定相消，留下实质物理。换个角度看，也就是，我们可以通过实验确定2-2散射的有效相互作用顶角。
现在的问题是，有了这一个顶角后，我们的理论还能够走多远？譬如，能否预言2-3散射振幅？
答案是，只能走一步，此时由有效顶角连接的树图层次的2-3碰撞子过程可以计算；但当顶角连结成为圈路时，积分将产生新的发散，需要进一步的重整化处理——换言之，我们需要进一步作实验——用形式语言说，即“2-3散射有效顶角不能由2-2散射完全确定”

依此类推，2到n+1的散射总会有新的过程需要新的实验结果输入，这是一个无穷序列，除非我们能够说服自己，这个序列的实际贡献总是越来越小，不太较真时，可以把高阶忽略。
这就是引力讨嫌的地方，与QED相比，后者的展开参数小于1，高阶总是能忽略；引力却不行。

一个自然的问题是由非微扰效应的Yang-Mills场如何。YM规范场的好处是Ward恒等式——增加圈并不总在物理上造成变化，譬如光子不会由费米内圈修正获得质量，这是很强的限制，Yang-Mills可重整性也就源于此。（与之相比，引力却有“等效原理”——一个提醒你麻烦永远存在的东西）

Two identical objects (mass m) are confined between two infinite high potential walls.
All motions are 1-dimontional, all collisions are elastic (no energy loss).
Given the distance between walls as L.

(A)   Calculate the ground state energy of this system.
(B)   Calculate the 1^st excited state energy of this system.
(C)   Calculate the 2^nd excited state energy of this system.
(D)   Now the system is in its 2^nd excited state, draw the form of its
wave-function.

在奇点附近，通常良好定义的场论失去意义。

A sigularity always makes well-defined field theory nonsense.

那我的问题是，我们是否还能相信其他generic的性质，例如对称性和对偶性呢？

Here comes the question, then, how much can you count on generic properties such as symmetry and duality？



这个问题跟信息有关

S.J.的问题：为什么相隔很远的电子仍然可以有相互作用。

疑问：库仑相互作用靠交换虚光子，但虚光子却貌似只能存在于局部。

答案：在QED中，虚光子交换的树图贡献仍然可以在长距离下dominate。
能量时间测不准关系中，虚光子存在的时间（也就是运行距离）反比于能量，因此越小能量的虚光子能传递得越远。
这是一个非常Rough的picture：靠得近的电荷交换大能量虚光子，离得远的交换小能量虚光子。

下面给出较严格的说明：
Feymann图中的树图给出相互作用的最低阶近似picture，而具体形式中的参数仍需由圈图重整化（真空极化）提供。紫外的截断（cutoff）可以由能量时间测不准直接给出。红外截断必须由圈给，而这个截断是重要的，否则0能级对应着态密度无穷大。好在只需要知道紫外红外两个截断都是与点电荷间距离成反比的，因此树图造成的相互作用势是距离反比的。
高阶修正会破坏这个反比性，高阶修正的picture是一圈图，其中参数来自二圈图，量级是精细结构常数，经典极限可忽略。

推广：QED和QCD的区别是，前者的相互作用玻色子不带规范荷，因此不受极化屏蔽的影响。后者的树图贡献在长程被屏蔽掉。
引力和QED类似。

最近两天作傅立叶展开的时候，顺便想到了这个问题。

问题：二维均匀电阻网格（Lattice）上，任意两点之间的等效电阻？

方法：二维傅立叶变换，准确说，在每个个点上放电势，两点之间的电势造成电流。电流的环路定理自然满足，而节点电流方程变成电势的平均值方程。

然后用一组同时有三角函数和指数函数的基来展开（以保证在无穷远为零），仅仅用三角函数展开，那显然是不行的